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麦卡托投影法,又称墨卡托投影法正轴等角圆柱投影,是一种等角的圆柱形地图投影法。本投影法得名于杰拉杜斯·麦卡托法兰提斯出身的地理学家地图学家。他于1569年发表长202厘米、宽124厘米以此方式绘制的世界地图。在以此投影法绘制的地图上,纬线于任何位置皆垂直相交,使世界地图可以绘制在一个长方形上。由于可显示任两点间的正确方位,航海用途的海图航路图大都以此方式绘制。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变,从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变(即等角);但麦卡托投影会使面积产生变形,极点的比例甚至达到了无穷大。

墨卡托世界地图(1569年)

数学计算

地图上纵向方位(图中的横轴)和纬度(图中的纵轴)的关系。

下列公式定义在使用麦卡托投影的地图中,从纬线φ经线λ(其中λ0是地图的中央经线)如何推导为坐标系中的坐标xy。这是古德曼函数的逆推导:

<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />begin{align}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />x & = lambda - lambda_0 <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />y & = ln left(tan left(frac{pi}{4} + frac{varphi}{2} right) right) <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />  & = frac {1} {2} ln left( frac {1 + sin(varphi)}{1 - sin(varphi)} right) <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />  & = sinh^{-1} left( tan(varphi)right) <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />  & = tanh^{-1} left( sin(varphi)right) <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />  & = ln left(tan(varphi) + sec(varphi)right).<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />end{align}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

这是古德曼函数:

<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />begin{align}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />varphi    & = 2tan^{-1}(e^y) - frac{pi}{2} <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />        & = tan^{-1}(sinh(y)) <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />lambda & = x + lambda_0.<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />end{align}<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

比例尺与纬度φ正割成比例,越趋向极地φ = ±90°)面积变形越大。此外,由公式可知,极点处的y值为正负无穷大。

麦卡托投影是一种等角投影。

公式推导

假设地球为正球形。(实际上并非为正球形,而是有扁率的,但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确,可插入等角纬线。)我们需要将经纬度坐标(λφ)转换为笛卡尔坐标(xy),求以赤道为基准的切柱面投影(即x = λ),并保持形状不变,故:

frac{partial x}{partial lambda} = cos(varphi) frac{partial y}{partial varphi}

frac{partial y}{partial lambda} = -cos(varphi) frac{partial x}{partial varphi}

从 x = λ 可知

frac{partial x}{partial lambda} = 1

frac{partial x}{partial varphi} = 0

给出

1 = cos(varphi) frac{partial y}{partial varphi}

0 = frac{partial y}{partial lambda}

因此,yφ的唯一函数,且可得到y'=secvarphi,由积分表y = ln(|sec(varphi) + tan(varphi)|) + C.,在地图中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.

以麦卡托投影法绘制的地图。

另参见:

参考资料:

    1. Snyder, John P.. Map Projections – A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987.可至USGS pages下载。
    2. Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004.
    3. Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
    4. Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics.Taipei: Caves Books Ltd.

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