克莱因-戈尔登方程

薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换,薛定谔方程是不变的。 对于洛伦兹变换,薛定谔方程的形式会改变。为了要涵盖相对论效应,必须修改薛定谔方程。试想能量-动量关系式(energy-momentum relation),

E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 ;

其中,c 是光速m 是静止质量

将这关系式内的能量与动量改为其对应的算符,将整个关系式作用于波函数,可以得到

 - \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi =  - \hbar^2c^2\nabla^2 \psi + m^2c^4 \psi 。

稍加编排,可以得到克莱因-戈尔登方程

(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0 ;

其中, \Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 是达朗贝尔算符 \mu = \frac{mc}{\hbar} 。

对于洛伦兹变换,这方程的形式不会改变,是洛伦兹不变式。但是,它是一个时间的二阶微分方程,不能成为波函数的方程。另外,这方程的解拥有正频率和负频率。平面波波函数解的色散关系式

\hbar^2\omega^2 - \hbar^2 c^2 k^2 = m^2 c^4 ;

其中,\omega 是角频率,可以是正值或负值。

对量子力学来说,正负角频率或正负能量,是一个很严峻的问题,因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此,加以适当的诠释,这方程仍旧能够正确地给出零自旋粒子的相对论性波函数。

狄拉克方程

狄拉克方程乃是时间的一阶微分方程,专门描述自旋-½粒子的波函数:

i \hbar \frac{\partial\psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}  = \left( \frac{1}{i}\boldsymbol{\alpha \cdot \nabla} +\beta m \right) \psi (\mathbf{r},t)

其中,m自旋-½ 粒子的质量\mathbf{r} 、t 分别是空间、时间。

狄拉克方程仍旧存在负能量的解。为了要除去这麻烦的瑕疵,必须把波动方程当作一个量子场的方程,而不是一个波函数的方程。因为,相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域,除非粒子的数量变为无穷多。

假设一个粒子被局限于一个长度为 L 的一维盒子里,根据不确定性原理,动量的不确定性 \Delta p\ge \hbar/L 。假若,因为粒子的动量足够的大,质量可以被忽略,则能量的不确定性大约为 \Delta E\approx\hbar c/L 。当盒子的长度 L 等于康普顿波长 \frac{\hbar}{mc} 时,能量的不确定性等于粒子的质能(mass energy) mc^2 。当盒子的长度 L 小于康普顿波长时,无法确定盒子内只有一个粒子,因为用来测量盒子内粒子位置的机制,也可以从制造出更多的粒子。

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